Cuantificando la forma de la cebada

.title[
# Cuantificando la forma de la cebada
]
.subtitle[
## usando la característica de Euler
]
.author[
### <strong>Erik Amézquita</strong>, Michelle Quigley, Tim Ophelders <br> Elizabeth Munch, Dan Chitwood <br> Dan Koenig, Jacob Landis
]
.institute[
### Computational Mathematics, Science and Engineering <br> Michigan State University
]
.date[
### 16 de junio 2020
]

---

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background-position: 95% 5%

# Cómo inició todo...

- Fragmento de febrero 2016. (Énfasis propio)

> Estimados Estudiantes de Licenciaturas de Demat,
>
> Se les hace una cordial invitación a participar como estudiantes de verano (con posibilidad de comenzar a pensar en una tesis en el futuro), en el proyecto interdisciplinario de Análisis Topológico de Datos-ATD aplicado a objetos Arqueológicos en 3D. 
>
> Se anticipa que partes de este proyecto requerirán de elementos de **análisis funcional, análisis armónico, topología/geometría diferencial, probabilidad y estadística, homología y programación**. Algunos elementos se tendrán que aprender sobre cómo parte de la participación.

- Fui el único que manifestó interes

- Sabía prácticamente nada de los requisitos.

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# Ahora: Morfología botánica

---

# Análisis Topológico de Datos (ATD)

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:25%; font-size: 15px;">
    <img style="padding: 25px 0 35px 0;" src="../figs/S019_L0_1.gif">
    <p style="font-size: 25px; text-align: center; color: DarkRed;"> Datos </p>
    <ul>
      <li> Escanes rayos X </li>
      <li> Nubes de puntos </li>
      <li> Series de tiempo </li>
    <ul>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:40%; padding: 0 25px 0 25px; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/ecc_X.gif">
    <p style="font-size: 25px; text-align: center; color: DarkRed;"> Resumen Topológico </p>
    <ul>
      <li> Característica de Euler </li>
      <li> Diagramas de persistencia </li>
      <li> Mapper </li>
    <ul>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:35%; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/svm_mds_canberra_algerian_everest.png">
    <img src="../figs/svm_mds_canberra_multan_white-smyrna.png">
    <p style="font-size: 25px; text-align: center; color: DarkRed;"> Análisis </p>
    <ul>
      <li> Estadística </li>
      <li> Aprendizaje de máquina </li>
      <li> Clasificación y predicción </li>
    <ul>
  </div>
</div>

---

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background-position: 99% 99%

# Resumen de hoy

### La charla será muy modular

1. Botánica: cebada

1. Genética: Zigosidad

1. Procesamiento de imágenes

1. Transformada de característica de Euler

1. Aprendizaje de máquina y resultados

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# 1. Botánica: Cebada

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# Cebada: con nosotros desde el inicio

- Es el 4to grano más cultivado, después de arroz, maíz y trigo.

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:35%">
    <img src="../figs/barley_grains.png">
    <img src="../figs/barley_scotland.jpg">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:30%">
  <p style="font-size: 15px; text-align: center; color: DimGrey;"> Tabletas cuneiformes de Mesopotamia con espigas de cebada </p>
    <img src="../figs/Ancient-Mesopotamia-tablet.jpg">
    <img src="../figs/mesopotamian-tablet.jpg">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:35%">
    <img src="../figs/beerancientegypt.jpg">
    <p style="font-size: 15px; text-align: center; color: DimGrey;"> Registro egipcio del consumo de cerveza </p>
  </div>
</div>

---

background-image: url("../figs/barley_domestication.jpg")
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background-position: 50% 70%

# Diversificación de la morfología floral

---

background-image: url("../figs/BarleyEars_2_vs_6.jpg")
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background-position: 0% 99%

# Cebada de 2 vs 6 hileras

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:50%; margin-left:auto; margin-right:0;">
    <p> El evento evolutivo de 2 vs 6 hileras es de suma importancia </p>
    <img src="../figs/barley_inflorescence.png">
    <p style="font-size: 15px; color: DimGrey;"> Hertrich J. “Topics in Brewing: Malting Barley” MBAA TQ 50(1) 2013, pp. 29--41 </p>
  </div>
</div>

---

background-image: url("../figs/composite_hybrid_mixture.jpg")
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background-position: 95% 5%

# Cruce Compuesto (CC)

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:50%">
    <img src="../figs/composite_cross_people.jpg">
    <p style="font-size: 15px; color: DimGrey;"> Esquina superior izquierda:  </p>
    <p style="font-size: 15px; text-align: center; color: DimGrey;"> Mary Martini, Harry Harlan, Coit Suneson, G.A. Wiebe, Robert Allard, Dan Koenig  </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:50%">
    <img src="../figs/barley_world.jpg">
    <p style="font-size: 15px; text-align: center; color: DimGrey;"> 28 especies fundadoras </p>
  </div>
</div>

- Experimento iniciado en 1929 en Aberdeen, Idaho
- En búsqueda del mejor cruce posible para California
- Enfoque y mantenimiento en UC Davis y UC Riverside

---

background-image: url("../figs/composite_cross_v_05.svg")
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background-position: 95% 50%

# Diseño del experimento

.pull-left[
- Consideramos todos los posibles cruces de los 28 fundadores (F1s)
- Autopolinizamos cada uno de los híbridos (F2s)
- Plantamos la progenie y les permitimos autopolinizarse
- Vemos pasar casi 60 generaciones más
- Contamos con semillas de cada generación y linaje
    - Cuantificar la morfología
    - Secuenciar el ADN
    - ¿Cuáles genes fueron favorecidos?
    - ¿Cómo cambió la morfología?
]

---

# 2. Genética: Zigosidad

---

background-image: url("../../biology/figs/focus_DNA.jpg")
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background-position: 97% 55%

# Al final del día, todos somos ADN

.left-column[
El ADN se compone de 4 nucleótidos:
- Adenina(A)
- Citosina(C)
- Tiamina(T)
- Guanina(G)

Complementariedad
- `$A \leftrightarrow T$`
- `$C \leftrightarrow G$`

Mecanismo natural de replicación
]

---

background-image: url("../../biology/figs/mutant_phenotypes.jpg")
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background-position: 97% 55%

# Patrones hereditarios para un único gen

**Fenotipo:** Forma tomada por un rasgo
**Cruce:** Apareamiento controlado
**Tipo silvestre:** El que se halla en la naturaleza
**Mutante:** Organismo individual con alguna propiedad alterada
]

---

background-image: url("../../biology/figs/alleles.jpg")
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background-position: 50% 60%

# Base molecular de patrones mendelianos

**Alelo:** Variación de un gen conocido. Diferencia de uno o más nucléotidos

**Mutación:** Cambio de nucleótidos en un alelo.
 
---

background-image: url("../../biology/figs/mitosis_meiosis_d.jpg")
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background-position: 50% 75%
 
# Base cromática hereditaria de un único gen

**Zigoto:** Huevo/óvulo fertilizado

**Homozigoto:** Organismo con un par de alelos idénticos (línea pura: A/A ó a/a)

**Heterozigoto:** Con diferente par de alelos (A/a)

**Genotipo:** Combinación alélica (A/A, A/a, a/a)

En principio, cada cromosoma tiene **la misma probabilidad** de ser heredado.

---

background-image: url("../../biology/figs/mendel_single_gene_ratios.jpg")
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background-position: 50% 75%

# Combinatoria para un único alelo
 
---

background-image: url("../../biology/figs/punnett_2_alleles_a.jpg")
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background-position: 95% 35%

# Misma idea para 2 alelos

.pull-left[
- Razón fenotípica de 9:3:3:1 suponiendo independencia
- La razón genotípica es mucho más distinta
- *Recordatorio:* El ser dominante/recesivo no influencia la probabilidad de ser heredado
- *Segunda Ley de Mendel:* Pares de genes distintos en **cromosomas distintos** se agrupan de manera independiente durante la formación de gametos.

![](../figs/punnett_2_alleles_b.jpg)
]

---

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background-position: 90% 85%

# Sintentizando líneas puras

.pull-left[
- Si seguimos autopolinizando los heterozigotos, enventualmente tendremos progenie homozigótica.
- Los homozigotos autopolinizados serán genotípicamente (y fenotípicamente) invariantes
- Cada alelo tiene probabilidad `$\frac12$` de formar parte de una línea pura
- No todos los homozigotos son viables
]

---

# 3. Procesamiento de imágenes

## Escanes 3D de rayos X

---

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# Tomografías 3D

Resolución de ~30 micras

En tandas de 4

2Gb+ por cada escan incial
]

---

class: inverse
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background-position: 0% 0%

# Procesamiento de imágenes _ad-hoc_

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:12%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S017_0_original.gif">
    <p style="text-align: center"> Original </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:12%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S017_1_normal.gif">
    <p style="text-align: center"> Estándar </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:12%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S017_2_unair.gif">
    <p style="text-align: center"> Limpio </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:12%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S017_3_denoise.gif">
    <p style="text-align: center"> Podado </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:27%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S015_alignment.jpg">
    <p style="text-align: center"> Etiquetado </p>
  </div>
  <div class="column" style="max-width:21%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S019_L0_1.gif">
    <p style="text-align: center"> ¡Análisis! </p>
  </div>
</div>

- 224 escanes
- La parte más laboriosa (hasta el momento)

---

# Interés en la distribución de semillas

- 875 espigas en total
- Alrededor de 40,000 semillas

---

# Control manual de calidad

<div class="row">
  <div class="column" style="max-width:11%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/seed_outlier1.png">
    <img src="../figs/seed_outlier2.png">
    <img src="../figs/seed_outlier3.png">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:11%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/seed_outlier4.png">
    <img src="../figs/seed_outlier5.png">
    <img src="../figs/seed_outlier6.png">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:11%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S102_1_44_0.png">
    <img src="../figs/S112_1_18_0.png">
    <img src="../figs/S129_0_37_0.png">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:11%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/S147_2_42_0.png">
    <img src="../figs/S162_0_62_0.png">
    <img src="../figs/S174_3_1_0.png">
  </div>
  <div class="column" style="max-width:40%; color: Yellow; font-size: 15px;">
    <img src="../figs/Parents_seed_distribution.jpg">
    <img src="../figs/F7_seed_distribution.jpg">
  </div>
    <div class="column" style="max-width: 15%; padding: 0 0 0 25px;">
    <p> ~38,000 semillas limpias</p>
    <p> Se vale descartar el 10% de la muestra.</p>
    <p> Verificar que las aberraciones no están concentradas.</p>
  </div>
</div>

---

background-image: url("../figs/seed_mesh.png")
background-size: 250px
background-position: 80% 60%

# Medidas tradicionales

Todas las semillas son elipsoides: alineamiento basado en SVD/PCA

.pull-left[
- Longitud
- Altura
- Ancho
- Área superficial
- Volumen
- Superficie convexa
- Volumen convexo

![](../figs/seed_orientation3.png)
]

---

# Evolución morfológica y alometría

---

# 4. Topología

## La Transformada de Característica de Euler (ECT)

---

background-image: url("../../tda/figs/euler_characteristic_2.png")
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background-position: 97% 50%

# La característica de Euler

`$\chi = V_0 - V_1 + V_2$`

**Números de Betti:** número de "agujeros" homológicamente distintos.
- `$\beta_0$`: Número de componentes conexas
- `$\beta_1$`: Número de ciclos
- `$\beta_2$`: Número de agujeros / vacíos

`$\chi = \beta_0 - \beta_1 + \beta_2$`

En general:

`$\chi = \sum_{i=0}^n (-1)^iV_i = \sum_{i=0}^n (-1)^i\beta_i$`
]

---

class: center
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background-position: 50% 80%

# Característica de Euler para formas diferentes

La característica de Euler es un invariante topológico: invariante ante transformaciones suaves

.pull-left[
Si la característica de Euler es **diferente**, los dos espacios/figuras son topológicamente distintos
]

.pull-right[
Si los espacios son topológicamente distintos, la característica de Euler **puede ser igual.**
]

---

background-image: url("../figs/ecc_X.gif")
background-size: 300px
background-position: 90% 60%

# Curva de característica de Euler (ECC)

.pull-left[
- Un complejo simplicial finito `$M\subset\mathbb{R}^d$`
- Una dirección `$\nu\in S^{d-1}$`

- La filtración de altura
`$M(\nu)_r = \{x\in M: \langle x,\nu\rangle \leq r\}$` 
`$\simeq 	\{\Delta\in M : \langle x, \nu\rangle\leq r\:\forall	\,x\in\Delta\}$`

- Definimos la curva de característica de Euler `$\chi(M,\nu):\mathbb{R}\to\mathbb{Z}$`

`$\chi(M,\nu)(r) = \chi(M(\nu)_r).$`
]

---

background-image: url("../figs/ect.gif")
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background-position: 50% 90%

# Transformada de característica de Euler (ECT)

- Definimos `$ECT(M): S^{d-1}\to\mathbb{Z}^{\mathbb{R}}$` with `$\nu\mapsto\chi(M,\nu)$`
- Concatenamos una cantidad infinita de ECCs.

---

# ¿Porqué la transformada ECT?

- Es fácil de calcular: una simple sucesión de sumas

[**Teorema _(Turner, Mukherjee, Boyer 2014)_**](https://doi.org/10.1093/imaiai/iau011): La ECT es inyectiva para complejos simpliciales finitos en 3D

[**Teorema _(ibid)_**](https://arxiv.org/abs/1310.1030): La ECT es una estadística suficiente para complejos simpliciales finitos en 3D

_Traducción:_

- Dada todas las (infinitas) ECCs correspondientes a todas las direcciónes

- Complejos simpliciales *distintos* corresponden a ECTs *distintas*

- La ECT en efecto resume toda la información posible respecto a la forma de nuestro complejo

Avances en reconstrucción práctica: construir un complejo simplicial a partir de una colección finita de ECCs. (Turner, Curry, Fasy, Ghrist)

---

background-image: url("../../tda/figs/complex-good.svg")
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background-position: 90% 38%

# Idea de inyectividad

- La demostración es constructiva: dado `$PHT(M)$` reconstruiremos `$M$` (con la cantidad mínima de vértices)

- Sean `$x\in M$`, `$\nu\in S^2$`, `$r=\langle x,\nu\rangle$` fijos

- Consideremos subcomplejos
    - `$M(v)_r = \{z\in M: h_v(z)\leq r\}$`
    - `$M(v)_r^-=\{z\in M: h_v(z)\leq r-\delta\}$`

- `$\delta > 0$` tal que no existen valores críticos de `$h_v$` en `$(r-\delta, r)$`

- Dicha `$\delta$` existe, pues `$M$` es finito.

- El teorema original trabaja con la Transformada de Homología Persistente (PHT) en 3D

- Sea `$\mathcal{D}$` el espacio de todos los diagramas de persistencia

- `$PHT(M):\; S^{2}\to\mathcal{D}^3$` con `$\nu\mapsto (X_0(M,\nu),X_1(M,\nu),X_{2}(M,\nu))$`

---

# La sucesión exacta larga: homología relativa

`$$\begin{align}
\ldots\xrightarrow{} H_i(M(\nu)_r^-)\xrightarrow{\iota_*} H_i(M(\nu)_r) \xrightarrow{\pi_*}H_i( M(\nu)_r, M(\nu)_r^- ) &\xrightarrow{\partial_*}H_{i-1}(M(\nu)^-_r)\\
&\xrightarrow{\iota_*} H_{i-1}(M(\nu)_r)\to\ldots
\end{align}$$`

- Por exactitud, `$H_i(M(\nu)_r,M(\nu)_r^-) \cong \ker\partial_*\oplus\mathrm{im}\:\partial_*$`
--

- Es decir,
`$$\begin{align*}
	H_0(M(\nu)_r,M(\nu)_r^-) &\cong \mathrm{coker}\:\{H_0(M(\nu)_r^-) \to H_0(M(\nu)_r) \}\\
	H_1(M(\nu)_r,M(\nu)_r^-) &\cong \mathrm{coker}\:\{H_1(M(\nu)_r^-) \to H_1(M(\nu)_r) \}\\
	&\oplus\ker\{H_0(M(\nu)_r^-) \to H_0(M(\nu)_r) \}\\
	H_2(M(\nu)_r,M(\nu)_r^-) &\cong \mathrm{coker}\:\{H_2(M(\nu)_r^-) \to H_2(M(\nu)_r) \}\\
	&\oplus\ker\{H_1(M(\nu)_r^-) \to H_1(M(\nu)_r) \}\\
	H_i(M(\nu)_r,M(\nu)_r^-) &=0,\quad i\geq3.
\end{align*}$$`

---

# Números de Betti y la característica de Euler relativa

- Definimos `$\tilde\beta_i(x,\nu) := \mathrm{rank}\:(H_i(M_r,M_r^-))$`

- _Traducción:_ Observamos como cambia `$\beta_i$`
`$$\begin{align*}
	\tilde\beta_0(x,\nu) &= \#\{\text{clases en }X_0(M_\nu)\text{ nacidas a altura }r\}\\
	\tilde\beta_1(x,\nu) &= \#\{\text{clases en }X_1(M_\nu)\text{ nacidas a altura }r\}\\
	&+ \#\{\text{clases en }X_0(M_\nu)\text{ que mueren a altura }r\}\\
	\tilde\beta_2(x,\nu) &= \#\{\text{classes in }X_2(M_\nu)\text{ nacidas a altura }r\}\\
	&+ \#\{\text{clases en }X_1(M_\nu)\text{ que mueren a altura }r\}\\
	\tilde\beta_i(x,\nu) &= 0, \quad i\geq3.
\end{align*}$$`
--

- Resumimos los cambios homológicos en `$(r-\delta, r)$` 
`$$\tilde{\chi}(x,\nu) := \tilde\beta_0(x,\nu) - \tilde\beta_1(x,\nu) + \tilde\beta_2(x,\nu).$$`

---

# Idea de inyectividad: Vértices

- Aprovechamos estabilidad de diagramas de persistencia para identificar los puntos críticos = vértices de nuestro complejo

.pull-left[
![](../../tda/figs/cotton_8a_850a_00.svg)]
.pull-right[
![](../../tda/figs/cotton_8a_850a_90.svg)]

---

background-image: url("../../tda/figs/north_to_south2.png")
background-size: 350px
background-position: 90% 50%

# Idea de inyectividad: Aristas

.pull-left[
- Hallar links de los vértices `$x$`
    - Aristas y caras incidentes
    
- Si `$Lk\;x=\varnothing$`, entonces una componente conexa nace a la altura `$\langle x,\nu\rangle$` para toda `$\nu$`.

- Supongamos `$Lk\;x\neq\varnothing$`

- SPG, supongamos que `$e$` es una arista incidente de `$x$` apuntando hacia el polo norte.

- La clave es ver como cambia la característica de Euler `$\tilde\chi$` cuando `$\nu$` va del hemisferio norte al hemisferio sur.
]

---

background-image: url("../../tda/figs/pht_3_components1.svg")
background-size: 850px
background-position: 50% 80%

#### Izquierda, observamos 2 componentes. Proyectamos Lk `$e$`. `$\tilde\chi$` aumenta 1.

---

background-image: url("../../tda/figs/pht_3_components2.svg")
background-size: 850px
background-position: 50% 80%

### Función `$f_e$` en el gran círculo es determinada por cambios en `$\tilde\chi$`.

---

background-image: url("../../tda/figs/sphere_partition.png")
background-size: 350px
background-position: 90% 50%

# Cambios en `$\tilde\chi$` determinan el link de la arista

.pull-left[
- Para cada arista `$e$`, `$f_e:S^2\to\mathbb Z$` resume los cambios en `$\tilde\chi(x,\nu)$` cuando `$\nu$` cruza el ecuador.

- `$f_e$` es equivalente a Lk `$e$` con vista de pájaro.

- El ecuador tiene medida 0, así que lo podemos ignorar.

- Partición de la esfera de direcciones centrada en `$x$` donde la homología es constante.

- Con todos los vértices y sus aristas/caras incidentes, reconstruimos `$M$` a partir de su ECT/PHT. QED
]

---

# 5. Aprendizaje de máquina

## Resultados de ECT

---

background-image: url("../figs/pole_directions_102.png")
background-size: 350px
background-position: 90% 50%

# Calculando la ECT de cada semilla

- 74 direcciones

- 32 umbrales por dirección

- Cada semilla es asociada a un vector `$74\times32=2368$` dimensional.

![](../figs/ect.gif)
]

---

background-image: url("../../demat/figs/pca_figure.jpg")
background-size: 290px
background-position: 99% 90%

## No supervisado: Principal Component Analysis (PCA)

- Consideremos un datos `$\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_n\in\mathbb R^d$` (digamos `$d=2368$`)

- Sea `$1\leq k \leq d$` fijo. Supongamos `$k=2$`.

- Queremos hallar la _mejor_ aproximación afín `$k$`-dimensional `$U\beta + \mu$` tal que las columnas `$U = [u_1, \ldots, u_k]\in\mathbb R^{d\times k}$` forman una base ortonormal.

- Problema de optimización:
`$$\min_{\beta,\mu, U} \sum_{i=1}^n\|x_i - (\mu + U\beta_i)\|^2$$` 
tal que `$U^\top U=I$` y `$\sum_i\beta_i=0$`.

---

## No supervisado: MultiDimensional Scaling (MDS)

- Consideremos una matriz simétrica `$D = (d_{ij}) \in\mathbb R^{n\times n}$` correspondiente a todas las distancias posibles de un conjuto de de datos `$\mathbf x_1,\ldots,\mathbf x_n\in\mathbb R^d$` (digamos `$d=2368$`)

--
- Sea `$1\leq k \leq d$` fijo. Supongamos `$k=2$`.

- Queremos hallar puntos `$\mathbf z_1,\ldots,\mathbf z_n\in\mathbb R^k$` cuyas distancias euclideanas preserven _mejor_ las distancias originales.

- Problema de optimización
`$$\min_{\mathbf z_i\in\mathbb R^k} \sum_{i,j}(\|\mathbf z_i-\mathbf z_j\|_2 - d_{ij})^2$$`
tal que `$\sum_{i}\mathbf z_i = 0$`

- Puede usarse para reducción de dimensiones.

---

background-image: url("../../demat/figs/separable-svm.svg")
background-size: 450px
background-position: 50% 99%

## Supervisado: Support Vector Machines (SVM)

- `$n$` puntos etiquetados `$\{\mathbf x_i,y_i\}_{i=1}^n \subset \mathbb R^d$` con `$y_i\in\{-1,+1\}$`.

- Debemos hallar el __hiperplano H__ que los separa _mejor_, con `$\mathbf H = \{\mathbf x\,:\,\langle\mathbf{x,w}\rangle+b=0\}$`.

- Problema de optimización
`$$\begin{align}
	\min_{(\mathbf w,b)\in\mathbb R^d\times\mathbb R}\;\; &\frac12||\mathbf w||^2, \\
	\textrm{tal que }\;\;& y_i(\langle \mathbf x_i,\mathbf w\rangle + b)\geq 1 \textrm{ para todo } i=1,\ldots,n.
\end{align}$$`

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# MDS + SVM

- Nos enfocaremos únicamente en pares de fundadores

- Proyectamos nuestra ECT en 2D con las métricas Manhattan (L1) y Canberra.
    - `$d(\mathbf x, \mathbf z) = \sum_i |x_i-y_i|$`
    - `$d(\mathbf x, \mathbf z) = \sum_i\frac{|x_i-y_i|}{|x_i|+|y_i|}$`

- Calculamos la separabilidad de dichas proyecciones con un SVM lineal.

- Usamos el 100% de nuestros datos como entrenamiento.
]

.pull-right[
![](../figs/svm_mds_canberra_algerian_everest.png)
![](../figs/svm_mds_canberra_multan_white-smyrna.png)
]

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background-image: url("../figs/heatmap_svm_linear_C1_mds_canberra_k4.png")
background-size: 450px
background-position: 98% 50%

# Heatmap de precisión

Idea:

- Si dos fundadores son fáciles de separar, su morfolología debe ser significativamente diferente.

- Entonces dichos fundadores deben hallarse lejos en el árbol filogenético.

- El converso también debería ser cierto

Clusters jerárquicos
]

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background-image: url("../figs/hclust_ward.D2_svm_radial_C1_mds_manhattan_k4.png")
background-size: 450px
background-position: 99% 50%

# Clustering jerárquico

- Este comporatamiento se mantiene cuando modificamos
    - Número de dimensiones proyectadas con MDS: `$k=2,4,8$` 
    - Uso de distancia Manhattan o Canberra para MDS
    - SVM lineales o radiales
    - Diferentes criterios de clusterización jerárquica (completa, promedio, ward, mcquitty)
]

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background-image: url("../figs/founders_rownums2_pca_d74_T32.png")
background-size: 450px
background-position: 99% 60%

# PCA sugiere una asimetría ligera

.pull-left[
- Parece que la cebada de 6 hileras está ligeramente más esparcida a lo largo del eje PC2

- Hipótesis: La asimetría natural en las semillas de la cebada de 6 hileras

![](../figs/barley_inflorescence.png)
]

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# Trabajo futuro

- ¿Podemos usar la espiga entera?

- Hallar un vínculo más concreto entre la variación morfológica y la variación genética

- Si algo nos sobra, son imágenes botánicas

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background-image: url("../figs/acknowledgments.jpg")
background-size: 1000px
background-position: 50% 50%